k故障诊断理论在模拟电路故障诊断发展过程中具有重要的意义，他的出现使模拟电路故障诊断由早期的故障字典法和参数识别法过渡到了故障验证法。该方法利用故障元件参数变化与可测节点电压和电流变化量之间的关系，通过检验其故障诊断方程的相容性来实现故障定位。现已提出的k故障定位方法有：支路法、节点法、回路法、网孔法、割集法，这些方法都是在单一的故障模型下，直接由k故障诊断方程进行诊断的，为了更深入地研究k故障诊断理论，有必要对这些方法进行系统全面的分析，建立统一的k故障诊断理论的数学模型，利用数学模型处理模拟电路容差效应、非线性问题以及可测性设计方面的问题。
1 故障激励源模型
k故障诊断中的故障是用故障激励源模型来描述的。在模拟电路中，故障的本质是元件参数值发生了变化，元件参数值的变化必然导致电路中电流和电压的变化，在k故障诊断理论中，就是要把电压、电流的变化看作是特定的激励源，这样就把电路中的故障等效为电路的一种激励源，根据激励值是否为零来确定电路的故障。故障激励源的形式可以分为故障电流源和故障电压源。
1.1 故障电流源模型
一个电路支路的故障电流源的集合可用下列矢量表示：
对于电路中任意支路k，Isfk=△Yk(Vk+Vfk)，其中k是整数，且1≤k≤b，b为电路的支路数，Isfk代表第k条支路的故障电流值，△Yk代表支路k的导纳增量，Vk代表正常情况下的电压值，Vfk代表故障情况下的电压增量。下面用图表表示无源支路和有源支路的故障电流源模型。
若某支路的故障电流源为0，则该支路无故障；如果故障电流源不为0，则该支路存在故障并被称为故障支路。
在电路网络中，节点由若干支路交接而成，割集则是由若干被切割的支路集合而成。所以说，电路中任意一个节点(割集)无故障的充要条件是该节点(割集)的故障电流源为0，即与该节点(割集)相关的支路故障电流均为0，如果一个节点(割集)的故障电流不为0，则意味着与该节点(割集)相关的支路中至少有一条支路是有故障的，并称该节点(割集)为故障节点(割集)。
1.2 故障电压源模型
一个电路支路的故障电压源的集合可以用下列矢量表示。
对于电路中任意支路是k，Vsfk=△Zk(Ik+Ifk)，其中k是整数，且1≤k≤b，b为电路的支路数，Vsfk代表第k条支路的故障电压值，△Zk代表支路k的阻抗增量，Ik代表正常情况下的电流值，Ifk代表故障情况下的电流增量。下面用图表表示无源支路和有源支路的故障电压源模型。
若某支路的故障电压源为0，则该支路无故障；如果故障电压源不为0，则该支路存在故障并被称为故障支路。
在电路网络中，回路由若干支路依次连接而成，网孔则由若干内接支路或外接支路绕行而成。所以网络中任意一个回路(网孔)无故障的充要条件是该回路(网孔)的故障电压为0，即该回路(网孔)所有支路故障电压均为0。若一个回路(网孔)的故障电压源不为0，则意味着与该回路(网孔)相连的支路中至少有一条支路是有故障的，并称此回路(网孔)为故障回路(网孔)。
2 k故障诊断理论
设线性非互异性网络N含有6条支路和n个节点(公共节点除外)，其中m个节点为可及节点。k故障诊断的要求就是根据电路中m个可及端口的测量值来确定电路中的故障位置，再根据故障定值的有关方法确定故障元件参数。
下面将根据k故障诊断理论的各种方法列写故障诊断方程，这些方法可以归为两类——基于故障电流源模型的k故障诊断方法和基于故障电压源模型的k故障诊断方法。
2.1 基于故障电流源模型的故障诊断方法
基于故障电流源模型的故障诊断方法包含导纳支路法、节点法和割集法，这几种方法都是将电路中的故障转换成故障电流源模型，列写故障诊断方程，通过判断故障电流源是否为0确定电路中的故障支路、故障节点以及故障割集。
2.1.1 导纳支路法
导纳支路法的故障诊断方程为：
ZbJb=△Vb (3)
其中，△Vb是电路网络N发生故障后支路电压偏移量矩阵，可以通过测量得到；Zb为支路阻抗矩阵，可以通过计算得到；Jb是未知量，他代表支路故障电流源向量，Jb=-△Yb(Vb+△Vb)，在此式中，△Yb为支路导纳增量，Vb为支路电压向量。
由于电路网络N只有m个可及端口，因此我们只能在m个可及端口施加激励电流和测量其电压，所以故障诊断方程变为：
ZmbJb=△Vm (4)
其中，Jb中的非零元素对应于电路网络N的故障支路。
2.1.2 节点法
节点法的故障诊断方程为：
ZnJn=△Vn (5)
其中，△Vn是电路网络N发生故障后节点电压偏移量矩阵；Zn=Yn-1，Yn为节点导纳矩阵；Jn是节点故障电流向量，Jn=-△Yn(Vn+△Vn)，在此式中，△Yn为节点导纳增量，Vn为节点电压向量。由于电路网络N只有m个可及端口，所以故障诊断方程变为：
ZmnJn=△Vm (6)
其中，Jn中的非零元素对应于电路网络N的故障节点。
2.1.3 割集法
割集法的故障诊断方程为：
ZtJt=△Vt (7)
其中，△Vt是电路网络N发生故障后节点电压偏移量矩阵；Zt=Yt-1，Yt为割集导纳矩阵；Jt是割集故障电流向量，Jt=-△Yt(Vt+△Vt)，在此式中，△Yt为割集导纳增量，Vt为节点电压向量。由于电路网络N只有m个可及端口，所以故障诊断方程变为：
ZmtJt=△Vm (8)
其中，Jt中的非零元素对应于电路网络N的故障割集。
2.2 基于故障电压源模型的故障诊断方法
基于故障电压源模型的故障诊断方法包含阻抗支路法、回路法和网孔法，这几种方法都是将电路中的故障转换成故障电压源模型，列写故障诊断方程，通过判断故障电压源是否为零来确定电路中的故障支路、故障回路以及故障网孔。
2.2.1 阻抗支路法
阻抗支路法故障诊断方程描述如下：
YmbUb=△Im (9)
其中，△Im是电路网络N发生故障后支路电流偏移量矩阵；Ymb称为可及端口相对支路的转移导纳矩阵；Ub是支路故障电压向量，Ub=-△Zb(Ib+△Ib)，Ub为未知量，Ub中非零元素对应电路网络的故障支路。
2.2.2 回路法
回路法故障诊断方程描述如下：
YmoUl=△Im (10)
其中，△Im是电路网络N发生故障后可测连支电流增量矩阵；Yml为Zl-1的前m行向量，Zl为电路的回路阻抗矩阵；Ul，是回路故障电压向量，Ul=-△Zl(Il+△Il)，Ul为未知量，Ul中非零元素对应电路网络的故障回路。
2.2.3 网孔法
网孔法故障诊断方程描述如下：
YmoUo=△Im (11)
其中，△Im是电路网络N发生故障后可测网孔电流增量矩阵；Uo是网孔故障电压向量，Uo=-△Zo(Io+△Io)，Uo为未知量，Uo中非零元素对应电路网络的故障网孔。
3 k故障诊断理论的数学模型
更为一般的，我们可以上述的故障诊断方程抽象成统一的数学模型。
AX=B (12)
其中，A∈Cm×d，A代表各个诊断方程的系数矩阵，即电路网络的转移导纳和转移阻抗；B∈Cm，B代表电路网络N发生故障后电流(电压)增量矩阵，可以通过测量得到；X∈Cd，X代表各种不同的故障激励源模型，X为未知数，X中的非零向量则意味着电路故障出现的位置。
这个方程中共有d个未知数，而方程却有m个，m
定理1 欠定方程组(10)的解Jk∈Jn惟一的充要条件是系数矩阵A的全局列秩为k+1，即：
rank[Ai1Ai2，…，Aik+1]=k+1
其中，1≤i1
证明：
必要性：设Xk∈Xd是方程(10)的一个解，由于Xk中的非0元素不超过k个，所以B可用与Xk中非0元素对应的A中的列向量线性表出，不失一般性，设：
B=x1A1+x2A2+…+xkAk (13)
如果A的全局列秩小于k+1，则A中的一个列向量可以用其他不多于k个的列向量线性表出，设：
A1=l2A2+l3A3+…+lk+1Ak+1 (14)
其中，l2，l3，…，lk+1为常数。
将式(14)代入式(13)，有：
这就意味着x′k=[0，x′2，x′3，…，x′k，x′k+1，0，…，0]T也是方程组的一个解，即不能惟一定位故障节点，所以定理中的条件是必要的。
充分性：假设方程组的解Xk∈Xd不惟一，设：
由于A的全局列秩不小于k+1，则A的任意一个列向量都可以用其他k+1线性无关的列向量线性表出，令：
Aj=A1l1+al2
其中a是除Ai以外的A中的一个列向量，l1∈Rk×k，l2∈R1×k，与式(15)和(16)联立得：
由于矩阵[Ai a]是满列秩的，因此有：
l1Xj-Xj=0且l2Xj=0
其中l2和l1是由网络拓扑关系和元件参数已确定的，Xj是由史记故障状态确定的，出现l2Xj=0的情况极小，所以方程组的解是惟一的。
如果故障电路符合k故障诊断的条件，则可以根据故障诊断方程来求解故障元件参数。
在A的n中任取k列的组合数为Ckn，对于每一个组合j，j=1，2，…，Ckn，可建立一个测试矩阵。
Tj=[Aj1 Aj2 … Ajk B]
定理2 设故障电路符合定理(1)中的k故障诊断条件，若rankTj=k+1，则故障电路中的故障数多于k个，方程无解；若对某一组合j，有rankTj
在讨论上述k故障诊断时，只用到了系数矩阵A中的k列，因此，取A中的k列和相应的X中的k个分量，可以得到较简单的k故障诊断的方程形式。
电路中k个故障定位完成后，可以采用多频测试的方法进一步诊断出故障元件支路的位置及故障元件的参数。
4 结 语
本文首先介绍了用于k故障诊断的故障激励源模型的概念，在这一基础上分别给出了各种k故障诊断方法的诊断方程，最后对这些方程进行了总结和归纳，捉出了k故障诊断理论的统一的数学模型并对其可诊断条件进行了证明。这项研究工作从理论上加强了k故障诊断理论的系统性和严密性，并为该诊断方法的进一步发展提供了理论依据。
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